最近出題された数的推理の解説です。
今回のテーマは｢確率」です。
〔問題〕3人でじゃんけんを繰り返し行う。ただし、負けた人は次の回から参加できないこととする。2回じゃんけんを行って、初めて勝者が2人決まり、3回目で1人の勝者が決まる確率として、最も妥当なのはどれか。
１ 1/27
２ 2/27
３ 1/9
４ 4/27
５ 5/27
〔解説〕正答 ２
「2回じゃんけんを行って、初めて勝者が2人決まる」ということは１回目は同じ種類を全員出したか、全員違う種類を出したことになり決着つかず、２回目で一人が負けたことになる。
グー、チョキ、パーのいずれかで同じになる確率はそれぞれ1/27（＝1/3×1/3×1/3）。
グー、チョキ、パー３種類あるので、1/27×３＝3/27
全員が違う種類を出す確率を求める。出し方は、１つにつき1/3×1/3×1/3＝1/27
3人がそれぞれ違う種類を出す場合の数は3×２＝6通り
したがって全員が違う種類を出す確率は1/27×6＝6/27
１回目 全員同じまたは全員違う確率は3/27＋6/27＝9/27＝1/3
2回目 一人負ける場合、じゃんけんの出し方は一つにつき1/3×1/3×1/3＝1/27。じゃんけんは３種類あるので×3、3人の誰かが負けるので×3、となり1/27×3×3＝9/27＝1/3
「3回目で1人の勝者が決まる」ということは２回目で勝った２人で３回目を行った結果１人が勝ったことになる。
3回目 1/3×1/3×3×2＝6/9＝2/3
したがって、「2回じゃんけんを行って、初めて勝者が2人決まり、3回目で1人の勝者が決まる確率」は、
1/3×1/3×2/3＝2/9
今回のテーマは｢整数｣です。
〔 問題〕 ある 2桁の正の整数 aには、約数が 1と aとその他 3個の計 5個ある。この整数 aを3倍にして 3aにすると、約数は 6個になる。この aの 10の位と 1の位の積として、最も妥当なのはどれか。
（１） 4
（２） 6
（３） 8
（４） 9
（５） 12
〔解説〕正答 ３
問題の状況を表すと次のようになる。
1，3，○，○，○，ａ
1，3，○，○，○，ａ，3ａ
3倍して約数が一つ増えるということは最初の2桁に3の約数があることになる。（3がなければ3と3倍した数の最低2個は増えることになるため）
選択肢の数字になる場合を考える。
4→14か41だが、3の倍数ではないので該当しない。
6→23、32、16，61だが、すべて3の倍数でないため該当しない。
8→24、42，18，81となる。
24の場合、１，２，３，４，６，８，12，24と8個。
42の場合、１，２，３，６，７，21，42と７個。
18の場合、１，２，３，６，９，18と６個
81の場合、１，３，９，27，81の5個となる。
3倍すると243が加わり合計6個となる。
したがって、2桁の数は81となり、10の位と1の位の積は8となる。
この時点で、正答は３となる。
9→33、19、91となる。
33の場合１，３，11，33の４個。
19，91は3の倍数ではない。
12→34、43、26、62が該当する。
すべて3の倍数ではないため該当しない。
今回のテーマは｢方程式｣です。
〔問題〕 あるケーキ店で、ショートケーキとチョコレートケーキを合わせて40個販売した。ショートケーキとチョコレートケーキの値段の差は150円であった。閉店1時間前にショートケーキは完売したが、チョコレートケーキは用意した分の半分が残っていたので、30円引きにして販売したところ閉店までに完売した。売上額の合計は全て定価で売った場合よりも480円少なくなり、このときのチョコレートケーキの売上額が、ショートケーキの2倍であったとき、ショートケーキの定価として、最も妥当なのはどれか。
（１）300円
（２）310円
（３）320円
（４）330円
（５）340円
〔解説〕正答 ４
ショートケーキの個数をX個、価格をY円とする。チョコレートケーキの個数は（40－Ｘ）個、価格は（Y－150）円または（Y＋150）円となる。
ショートケーキがチョコレートケーキよりも150円高い場合を想定する。
X×Y＋（40－Ｘ）÷2×（Y－150）＋（40－Ｘ）÷2×（Y－180）＝X×Y＋（40－X）×（Y－150）－480
（40－Ｘ）÷2×（Ｙ－180）＝（40－Ｘ）÷2×（Ｙ－150）－480
（40－Ｘ）÷2×（－30）＝－480
－600＋15Ｘ＝－480
15Ｘ＝120
Ｘ＝8
8×Ｙ×2＝16×（Ｙ－180）＋16×（Ｙ－150）
16Ｙ＝32Ｙ－5280
Ｙ＝330
今回のテーマは｢確率｣です。
〔問題〕1〜8の異なる数字が全ての目に1つずつ書かれた正八面体のサイコロがある。このサイコロを2回振ったときに出る目の和が、素数となる確率として、最も妥当なのはどれか。
（１）21／64
（２）11／32
（３）23／64
（４）3／8
（５）25／64
〔解説〕正答 ３
素数とは1以外でその数でしか割れない数をいう。
2つのサイコロの和は最大で8＋8＝16となるが、1～16までの中で素数は、2、3、5、7、11、13の6個である。
（1，1）（1，2）（1，4）（1，6）
（2，3）（2，5）
（3，4）
（3，8）
（4，7）
（5，6）（5，8）
（6，7）
（1，1）を除く11ケースは１個目に出る場合と2個目に出る場合の2通りがあるので合計23通り。サイコロを2個の場合の下図は8×8＝64通りとなる。
したがって、確率は23／64となる。
今回のテーマは｢場合の数｣です。
〔問題〕ある作業を３人の１チームで行う。男性５人、女性５人、合わせて10人の中から3人を選び作業を行う。女性の中には、姉妹が1組、姉妹とは別の親族関係にある親子が1組いる。3人のうち1人は必ず女性を入れる必要があり、かつ3人とも親族関係にないことが必要であるとき、チームの組合せの数として、最も妥当なのはどれか。なお、男性の中に親族関係にある者はいない。
（１）78通り
（２）82通り
（３）86通り
（４）90通り
（５）94通り
〔解説〕正答 ５
全員から３人を選ぶ組合せは、10Ｃ３＝10×9×8／3×2×1 ＝120通り
女性の姉妹をＡ、Ｂ、親族関係の女性をＣ、Ｄ、その他の一人をＥとすると、女性3人を選んだとき、2人が親族関係になる場合はＡＢ、ＣＤの2通り。
残りの1人はＥを含む3人となるので、6通り。
女性2人を選んだ場合、親族関係になるケースは、ＡＢ、ＣＤの2通り
残りの男性1人は5通りなので、2×5＝10通り
男性のみ3人選んだ場合は 5Ｃ3＝5×4×3／3×2×1 ＝10通り
したがって、チームの組合せは、120－（6＋10＋10）＝94通りとなる。