試験日程

〔解説〕正答　３

ア〜オの条件をベン図で表すと次のようになる。求める形になるように必要ない部分を削除していく。
以下計算式と図の形を追っていく。図の中の数値はその部分が何回計算されているかを示している。

　　

　200－20＝180

180　　－　100　　　＝80

120＋92＋72＝284

284　－　　180　　＝　　104

　　

104　　－　　80　　　＝　24　

　

80　　　－　24　　＝56

〔解説〕正答　４

命題を記号化すると次のようになる。バーは否定形を表す。

ア　英──→国
イ　数→社かつ国──
ウ　社または英→理──

与えられた命題の対偶は必ず正しいので対偶を求める。
これらの対偶は次の通りとなる。選択肢ごとに命題が矢印でつながるかを確認する。

ア　国──→英
イ　社──または国→数──
ウ　理→社──かつ英──

１．英→つながらない。
２．国→つながらない。
３．数→社かつ国──→つながらない。
４．理→社──　　　→数──　したがって、理→数──　となる。正しい。
　　　　かつ英──　→国
５．社→理──　これ以降つながらない。

〔解説〕正答　４
Ａ～Ｅの発言をまとめると以下のようになる。

	前半の発言	後半の発言	※ 「＞」は、その人の次に到着　したということを表す（その間に誰かが入るわけではない）。
Ａ	Ｄ＞Ａ	Ｅ＞Ｃ
Ｂ	Ｅ＞Ｂ	Ａ＝５
Ｃ	Ｂ＞Ｃ	Ｄ＞Ｅ
Ｄ	Ｄ＝５	Ｅ＞Ｂ
Ｅ	Ａ＞Ｅ	Ｃ＞Ａ

問題文より、各自の発言（前後半の発言）のうち、一方が正しく、他方はウソということになる。
ここで、Ｂ・Ｄの発言（Ｅ＞Ｂ）に着目する。仮に、この発言をウソとした場合、Ｂの発言（「Ａ＝５」）、Ｄの発言（「Ｄ＝５」）が正しくなってしまい、但書の条件に反することになる（同着はいなかった）。
したがって、Ｂ・Ｄの発言（Ｅ＞Ｂ）が正しいことになる。このことから、Ａの前半の発言（Ｄ＞Ａ）が正しく、後半の発言（Ｅ＞Ｃ）が誤りとなる。
そして、Ａの前半の発言が正しいことから、Ｃの後半の発言（Ｄ＞Ｅ）、Ｅの後半の発言（Ｃ＞Ａ）が誤りとなる（Ｃ・Ｅの前半の発言が正しいことになる）。
以上より、山頂への到着した順番は、Ｄ＞Ａ＞Ｅ＞Ｂ＞Ｃとなる。

〔解説〕正答　５

まず、所在地（東京にあるもの）について考える。条件アより、Ａ～Ｄのうち東京にあるものを、Ａ・Ｂと仮定する。すると、条件イより、Ｂ～Ｅのうち東京にあるのは、Ｂとなる。さらに、条件ウより、Ｃ～Ｆのうち東京にあるのは、Ｆのみとなってしまう。これは、条件ウに反する（Ｃ～Ｆ－東京＝２）。
また、条件アより、Ａ～Ｄのうち東京にあるものを、Ｂ～Ｄの中で決めるのも、条件イに反する（Ｂ～Ｅ－東京＝１）。
したがって、条件ア～ウより、東京の可能性があるのは、「Ａ・Ｃ・Ｆ」もしくは、「Ａ・Ｄ・Ｆ」となる（Ｃ・Ｄは確実ではない）。

次に、業態分類について考える。条件アより、Ａ～Ｄのうち百貨店であるものを、Ａ・Ｂと仮定する。すると、条件イより、Ｂ～Ｅのうち百貨店であるのは、Ｂ・Ｅとなる。さらに、条件ウより、Ｃ～Ｆのうち百貨店であるのは、Ｅのみとなる。
ここで、選択肢を確認すると、４・５が該当する。複数の選択肢が該当する場合、同じ条件で、別のパターンを考えてみる。
そこで、条件アより、Ａ～Ｄのうち百貨店であるものを、Ｂ・Ｃと仮定する。すると、条件イより、Ｂ～Ｅのうち百貨店であるのは、Ｂ・Ｃとなる。さらに、条件ウより、Ｃ～Ｆのうち百貨店であるのは、Ｃのみとなる。

したがって、業態分類に関して、Ｅは確実に百貨店であるとはいえない（百貨店でない場合も考えられるから）。
以上より、確実にいえるのは、選択肢５（Ｆは東京にあるが、百貨店ではない）である。

〔解説〕正答　３

選択肢２、３、５に仮定があるので、結論がいえるか確認をしていく。
選択肢２：Ｂが決勝戦に進んだ場合（Ｅと決勝で当たる）

選択肢３：Ｄが優勝した場合（Ｅ、ＦとＤは別ブロックになる）

選択肢５：Ｇが決勝戦に進んだ場合（Ｆ、Ｇは決勝で当たる）

選択肢１、４はいずれのケースでも該当しない。正しくいえるのは選択肢３となる。

〔解説〕正答　５ 

　集合の問題は特定の数字を計算するために、問題を図表に書き込むことが重要です。 
　集合の図表はいくつかありますが、コの問題の場合、A大学・B大学、正解・不正解の他に、第1問の○×と第2問の○×という場合分けが必要となります。次のような表を書くとわかりやすいでしょう。 

　問題文を表に記入すると次のようになる。 

（図１）

（図2） 

①Ａの人数は 36人なので、第１問を正解した人数は 23人。 
②第一問の正解者は 65人、③全員で 100人なので第１問の不正解は 35人。 
④第１問と第２問の不正解の合計は 78人なので第２問の不正解は 43人。 
⑤全員が 100人なので、第２問の正解者の合計は 57人となる。 
　Ｘ＋ (Ｘ＋７ )＝ 78　　Ｘ＝ 25
　第２問の正解者は 25＋ 7＝ 32名となる。 
⑥全員が 100名なのでＢ大学は 64名となる。 

以上より、Ｂ大学で第２問を不正解となった者は、 64－ 32＝ 32名となる。

〔解説〕正答　２　　　

　Ａ、Ｂ、Ｃの１分間当たりの作業量をそれぞれa、b、cとし、全仕事量をＷとすると、問題の条件より次の式が立つ。　　

　25(a＋b)＝W　……　①　　　30(b＋c)＝W　……　②　　　10(a＋b＋c)＋22b＝W　……　③　
　①式×6、②式×5　
　　　25(a＋b)×3＝W×6　　　　150a＋150b＝6W　……　④
　　　30(b＋c)×5＝W×5　　　　150b＋150c＝5W　……　⑤　
　③式×15　　
　　　10(a＋b＋c)×15＋22b×15＝W×15　　
　　　150a＋150b＋150c＋330b＝15W　　
　　　150a＋480b＋150c＝15W　……　⑥　
　⑥式－④式－⑤式　

　　　150a＋480b＋150c＝15W　　
　－）150a＋150b　　　＝ 6W　
　－）　　　150b＋150c＝ 5W　
　　─────────────　
　　　　　　180b　　　＝ 4W　　

　∴　45b＝W　……　⑦　
　bはＢの１分当たりの作業量であるから、⑦式の左辺45bはＢが45分間作業したことを表す。
　また右辺Wは全仕事量であるから、⑦式はＢが45分間作業をするとそれは全仕事量となり仕事を仕上げる事ができることを表している。

〔解説〕正答　２

　共通する十の位をxとすると、百の位は8－x、一の位は7－xとなるが、この数は３の倍数であるから、この３桁の数を合計すると３の倍数になるはずである。３つの桁を合計すると、
　　　x＋(8－x)＋(7－x)＝15－x　

となる。
　15は３の倍数であるから、xが３の倍数であれば、この数は３の倍数となる。
　よって、xが３、６、９の３通りが３の倍数となるので、３個。

〔解説〕正答　５

全員から３人を選ぶ組合せは、10Ｃ３＝10×9×8／3×2×1　＝120通り

女性の姉妹をＡ、Ｂ、親族関係の女性をＣ、Ｄ、その他の一人をＥとすると、女性3人を選んだとき、2人が親族関係になる場合はＡＢ、ＣＤの2通り。
残りの1人はＥを含む3人となるので、6通り。

女性2人を選んだ場合、親族関係になるケースは、ＡＢ、ＣＤの2通り
残りの男性1人は5通りなので、2×5＝10通り
男性のみ3人選んだ場合は　5Ｃ3＝5×4×3／3×2×1　＝10通り

したがって、チームの組合せは、120－（6＋10＋10）＝94通りとなる。

〔解説〕正答　３

素数とは1以外でその数でしか割れない数をいう。
2つのサイコロの和は最大で8＋8＝16となるが、1～16までの中で素数は、2、3、5、7、11、13の6個である。

（1，1）（1，2）（1，4）（1，6）
（2，3）（2，5）
（3，4）
（3，8）
（4，7）
（5，6）（5，8）
（6，7）

（1，1）を除く11ケースは１個目に出る場合と2個目に出る場合の2通りがあるので合計23通り。サイコロを2個の場合の下図は8×8＝64通りとなる。
したがって、確率は23／64となる。

〔解説〕正答　４ 

ショートケーキの個数をX個、価格をY円とする。チョコレートケーキの個数は（40－Ｘ）個、価格は（Y－150）円または（Y＋150）円となる。

ショートケーキがチョコレートケーキよりも150円高い場合を想定する。

X×Y＋（40－Ｘ）÷2×（Y－150）＋（40－Ｘ）÷2×（Y－180）＝X×Y＋（40－X）×（Y－150）－480
（40－Ｘ）÷2×（Ｙ－180）＝（40－Ｘ）÷2×（Ｙ－150）－480
（40－Ｘ）÷2×（－30）＝－480
－600＋15Ｘ＝－480
15Ｘ＝120
Ｘ＝8

8×Ｙ×2＝16×（Ｙ－180）＋16×（Ｙ－150）
16Ｙ＝32Ｙ－5280
Ｙ＝330

〔解説〕正答　２

「2回じゃんけんを行って、初めて勝者が2人決まる」ということは １回目は同じ種類を全員出したか、全員違う種類を出したことになり決着つかず、２回目で一人が負けたことになる。

グー、チョキ、パーのいずれかで同じになる確率はそれぞれ1/27（＝1/3×1/3×1/3）。 グー、チョキ、パー３種類あるので、1/27×３＝3/27

全員が違う種類を出す確率を求める。出し方は、１つにつき1/3×1/3×1/3＝1/27 3人がそれぞれ違う種類を出す場合の数は3×２＝6通り したがって全員が違う種類を出す確率は1/27×6＝6/27

１回目　全員同じまたは全員違う確率は3/27＋6/27＝9/27＝1/3

2回目　一人負ける場合、じゃんけんの出し方は一つにつき1/3×1/3×1/3＝1/27。

じゃんけんは３種類あるので×3、3人の誰かが負けるので×3、となり1/27×3×3＝9/27＝1/3

「3回目で1人の勝者が決まる」ということは２回目で勝った２人で３回目を行った結果１人が勝ったことになる。

3回目　1/3×1/3×3×2＝6/9＝2/3

したがって、「2回じゃんけんを行って、初めて勝者が2人決まり、3回目で1人の勝者が決まる確率」は、

1/3×1/3×2/3＝2/27

〔解説〕正答　３ 　 

問題の状況を表すと次のようになる。

1，3，○，○，○，ａ
1，3，○，○，○，ａ，3ａ

3倍して約数が一つ増えるということは最初の2桁に3の約数があることになる。（3がなければ3と3倍した数の最低2個は増えることになるため）

選択肢の数字になる場合を考える。

4→14か41だが、3の倍数ではないので該当しない。
6→23、32、16，61だが、すべて3の倍数でないため該当しない。
8→24、42，18，81となる。

　24の場合、１，２，３，４，６，８，12，24と8個。
　42の場合、１，２，３，６，７，21，42と７個。
　18の場合、１，２，３，６，９，18と６個
　81の場合、１，３，９，27，81の5個となる。

　3倍すると243が加わり合計6個となる。
したがって、2桁の数は81となり、10の位と1の位の積は8となる。
この時点で、正答は３となる。

9→33、19、91となる。

　33の場合１，３，11，33の４個。
　19，91は3の倍数ではない。
　12→34、43、26、62が該当する。

すべて3の倍数ではないため該当しない。