頻出問題の解法セミナー：数的推理
整 数
〔問題 〕Ａ〜Ｅの５人が１００点満点の試験を受けた。５人の得点について次のことがわかっているとき、Ｅの得点は何点か。ただしＡ〜Ｅの得点は全て整数であるとする。
・Ａの得点はＥの得点の３分の１であった。
・Ｂの得点はＥの得点の５分の１であった。
・Ｃの得点はＥの得点の２分の３であった。
・Ｄの得点はＡ〜Ｃの得点の合計に２１点を加えたものの２分の１であった。
１．１５点
２．３０点
３．４５点
４．６０点
５．７５点
正答 ２
整数の性質を解法に用いる問題を整数問題という。この場合、問題の条件より作られる式を分数の形などにして、整数の性質を用いると良い。
Ａ〜Ｅの得点をそれぞれａ〜ｅとすると、問題の条件より次の式が成り立つ。
ｅ
ａ＝─ ……(１)式
３
ｅ
ｂ＝─ ……(２)式
５
３
ｃ＝─ｅ ……(３)式
２
ａ＋ｂ＋ｃ＋２１
ｄ＝──────── ……(４)式
２
まず(１)式より判断できるのは、ｅは３で割り切れなければａは整数とならないから、ｅは３の倍数であるということである。同様に(２)式よりｅは５の倍数、(３)式よりｅは２の倍数でもある。つまりｅは３×５×２＝３０の倍数でなければならない。
ここでｅは３０点６０点９０点の３通りが考えられるので、それぞれについて検討してみる。
i）ｅ＝３０点の時
(１)式より、ａ＝１０点。(２)式より、ｂ＝６点。(３)式より、ｃ＝４５点。
よって(４)式より、ｄ＝４１となって、成り立つ。
ii）ｅ＝６０点の時
同様にして、ａ＝２０点、ｂ＝１２点、ｃ＝９０点。よって(４)式より、整数となるｄの点数は存在しない。
iii）ｅ＝９０点の時
(３)式より、ｃ＝１３５点となって、１００点を越えてしまうので、条件に反する。
∴ ｅ＝３０点
［問題］５で割ると４余り、６で割ると５余り、７で割ると６余る最小の自然数の各けたの数の和はいくらか。
１．１１
２．１２
３．１３
４．１４
５．１５
正答 １
反対から見ると問題が非常に簡単になることがある。これもその一つ。
５で割ると４余るということは、５で割ると１足りないということ。
６で割ると５余るということは、６で割ると１足りないということ。
７で割ると６余るということは、６で割ると１足りないということである。
つまり、問題の数は５で割っても６で割っても７で割っても１足りない数、つまり５と６と７の最小公倍数から１を引いたものである。５、６、７は共通の因数を持たないから、最小公倍数は、
５×６×７＝２１０
より、条件に当てはまる数は
２１０−１＝２０９
∴ ２＋０＋９＝１１
発展問題に挑戦!
さて問題が次のようになると、どうですか？
〔発展問題１〕５で割ると４余り、６で割ると５余る３けたの自然数のうち、最小のものの各けたの数の和はいくらか。
１．１１
２．１２
３．１３
４．１４
５．１５
〔発展問題１〕正答 １
先程の問題と同様に、５と６の公倍数から１を引いたもののうち、３けたであって、しかも最小の数を求めることになる。よって、最小公倍数は３０であるから、
３０×４−１＝１２０−１＝１１９
が条件に当てはまる数である。よって、
１＋１＋９＝１１
〔発展問題２〕５で割ると４余り、６で割ると３余る３けたの自然数のうち、最小のものの各けたの数の和はいくらか。
１．１１
２．１２
３．１３
４．１４
５．１５
〔発展問題２〕正答 ２
反対から見ても、「５で割ると４余る」は「５で割ると１足りない」、「６で割ると３余る」は６で割ると３足りない」となって、とたんに手掛かりが無くなります。
では実際に条件に当てはまる数を挙げて見ましょう。
５で割ると４余る …… ４ ９ 14 19 24 29 34 39 44 49 54 59 64 69
６で割ると３余る …… ３ ９ 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69 75 81
以上から条件に当てはまるのは、９、39、69であることが分かります。ここで何か気がつきませんか？
そう！
９に始まって３０、つまり５と６の最小公倍数ずつ増えているのです。
この手の問題では、条件に当てはまる数が、最小公倍数に等しい間隔で、規則的に現れるということなのです。
ですから、３けたの数で最も小さいものは、１２９となります。
∴ １＋２＋９＝１２
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確 率
〔問題〕５枚のコインがある、この５枚のコインの表には１〜５の数字が１つずつ、裏にはすべて１が書かれている。いま、これらのコインを同時に投げて、出た５つの数字をすべて掛け合わせる。掛け合わせた結果の数が６０の約数になる確率はいくらか。
９
１．──
16
11
２．──
16
23
３．──
32
３
４．──
４
25
５．──
32
〔正 答〕 ４
６０を素因数分解すると、
６０＝２×２×３×５
となる。ここで１、２、３、４（＝２×２）、５が全て含まれており、一見、５枚のコインを投げて出た数を全て掛け合わせると、必ず６０の約数になるように思うが、そうではない。
約数は元の数と同じ素因数だけを含むが、含む素因数の個数は、元の数に含まれている個数以下である。つまりこの問題で約数が含む素因数の個数は、２は２個以下、３は１個以下、５は１個以下となる。コインに書かれている数で３と５は１つずつしかないので、この条件を満たしており、これが表裏のいずれが出ても必ず６０の約数でなくなるということはない。また１のコインは元々表裏のいずれが出ても約数にならないということはない。ところが２と４は、いずれか一方だけが表になれば問題はないのだが、両方同時に表になると、
２×４＝２×２×２
を含むことになってしまい、６０の約数ではなくなる。
問題は「６０の約数である確率はいくらか」ということであるから、逆に「６０の約数でない確率」を求めて１から引けばよいことになる。
コインの２と４が表の場合、他の３つのコインの出方は２×２×２(＝８）通りある。ところでコインは５枚であるから、コインの全ての表裏の出方は２×２×２×２×２(＝32）通りである。
８ １
６０の約数でない確率＝──＝──
32 ４
1 ３
∴ ６０の約数である確率＝１−──＝──
４ ４
※別解
後半部分を「６０の約数でない確率を求めて１から引く」方法ではなく直接求める。
１、３、５のコインは、表裏のいずれでも良いから、その出方は、
２×２×２＝８通り
ここで２と４については場合分けをする。
ｉ）２と４の両方が同時に表になる場合
これは約数にならないので、０通り。
ii）２か４のうちいずれか一方だけが表になる場合
２が表の場合と４が表の場合の２通り。
iii）２と４の両方が同時に裏になる場合
これは約数になる。１通り。
∴ ６０の約数となるコインの出方＝８×(２＋１)＝24通り
コインの全ての表裏の出方は２×２×２×２×２(＝32）通りであるから、
24 ３
６０の約数である確率＝──＝──
32 ４
時間・距離・速さ
〔問題 〕Ｘ氏は、毎日同じ時刻に駅に到着し、その時間にちょうど着くよう家から迎えに来ている自動車に乗って帰宅する。ある日Ｘ氏はいつもより早く駅に着いたので、迎えを待たずに家に向かって歩き始めたところ、途中のＡ地点で迎えの自動車とすれ違った。もしここで車がＸ氏に気づいていれば、いつもより３０分早く家に帰ることが出来たのであるが、あいにく車はＸ氏に気づかず通りすぎ、いつもの通りに駅に向かった。Ｘ氏はＡ地点からさらに３５分歩いたとき、駅に着いてすぐに引き返してきた車が追いつき、Ｘ氏はそこから車に乗り、結局いつもと同じ時間に家に着いた。Ｘ氏の歩く速度と自動車の走る速度の比はいくらか。ただし、自動車の速度およびＸ氏の歩く速度は常に一定であり、自動車に乗り込む時間は無視できるものとする。（国家II種 平成５年）
歩く速度 自動車の速度
１． １ : ５
２． １ : ６
３． １ : ７
４． １ : ８
５． １ : ９
〔解答・解説 〕正答 ３
Ａ地点でＸ氏に気がついて、そこで自動車に乗って家に帰った場合、車はＡ地点から駅そして再びＡ地点に行くまでの道程を短縮することになる。この短縮された時間が３０分である。（これがポイントで、後から重要な意味を持つ！）
自動車がＸ氏に追いついた所をＢ地点とすると、Ｘ氏はＡ地点からＢ地点まで３５分かかっている。ところで、自動車は初めにＸ氏とＡ地点ですれ違ってから駅に行き、すぐに引き返してＡ地点を通ってＢ地点でＸ氏に追いついたことになる。つまり、自動車は３０分でＡ地点に戻り、さらに５分でＢ地点に着いたことになる。よって、Ｘ氏は３５分かかる道程を自動車は５分で走ったことになる。
1 1 1 1
∴ Ｘ氏の速度：自動車の速度＝── ：─ ＝─：─＝１：７
35 ５ ７ １
最短経路
［問題］
図のような道がある。Ａ地点からＢ地点まで同じ道を２回通ることなく行く方法は何通りあるか。ただし、必ずしも最短経路を通らなくても良いものとする。
１．６１通り
２．６２通り
３．６３通り
４．６４通り
５．６５通り
［解答］正答 ４
この図において、もし横方向の２本の道を右から左に逆進する進み方を含んでＡからＢに行こうとすると、どのような行き方をしても必ず同じ道を通ることになる。したがって問題の条件のように進むためには、横方向の道は必ず左から右に進まなければならない。
ここで縦の道を境界として６つのブロックに分割して考える。
どのブロックにおいても、横方向の道は、上（図のア）を通る場合と下（図のイ）を通る場合の２通りしかない。また、どちらを通るかがきまれば、縦方向の道も通り方が一つ決まる。つまり、６つのブロックそれぞれに２通りの進み方があるということになるから、
２×２×２×２×２×２＝64通り
※別解（コンピュータが好きな方へ）
実際にどのように進むかをいくつか図に書いてみると、例えば次のようになる。
さて、これはどこかで見たことがあるように感じます。そう！コンピュータや様々な電子機器に出てくるデジタル信号に良く似ています。
この問題ではビット数は６です。よって、
＝64通り
こんな方法でも解けます。
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